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ChemieOnline Forum > Naturwissenschaften > Mathematik > Vektorrechnung und Lineare Algebra > Linearisierung einer Funktion mit Wurzel


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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Linearisierung einer Funktion mit Wurzel


Linearisieren Sie die Funktion z = (x2 + y2 + 4) in der Umgebung des Punktes mit
den Koordinaten x = 2 und y = 4 und geben Sie die lineare N¨aherungsfunktion an!
b) Berechnen Sie mit der linearen N¨aherungsfunktion den Wert an der Stelle x = 2, 2
y = 4, 5 sowie die Differenz zum exakten Funktionswert an dieser Stelle!

Bin mir unsicher wie ich hier vorzugehen habe. Muss ich mit der Kettenregel arbeiten, wenn ja, wie? Stehe etwas auf dem Schlauch.

Bin für Tipps und Lösungsansätze dankbar!

MfG Morx


ehemaliges Mitglied

15.09.2009, 10:59

Ich nehme mal an, du sollst quasi die Geradengleichung der Tangente an diesem Punkt bestimmen. Du weißt schon einmal einen Punkt, durch den die Gerade geht. Du brauchst aber noch eine zweite Angabe, nämlich in diesem Fall die Steigung. Du benötigst also die Steigung eben dieser Tangente.

Edit: Ich merke gerade...ich glaube, du musst eher Taylor benutzen, um die Tangentialebene zu erhalten.


pleindespoir

15.09.2009, 11:11

Linearisieren Sie die Funktion z = (x2 + y2 + 4) in der Umgebung des Punktes mit
den Koordinaten x = 2 und y = 4 und geben Sie die lineare Näherungsfunktion an!


Soll die Funktion so heissen?
z = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}

Dann musst du vermutlich den Gradienten bilden. Dazu das Totale Differenzial finden. Also einmal \frac{dz}{dx} und einmal \frac{dz}{dy}.
die jeweils nicht abgeleitete Variable ist als konstanter Parameter einzusetzen:

z(x)_{(y=4)}= \sqrt{x^2 + 4^2 + 4}
z'(x)_{(y=4)}= ...
z(y)_{(x=2)}= \sqrt{2^2 + y^2 + 4}
z'(y)_{(x=2)}= ...


leute für sowas gibt es jacobi matrizen

z_{\text{lin}}(v)=z(v_0)+\part_{v}z|_{v_0}(v-v_0)

hier gilt dann v=(x;y)^T

Nick


ehemaliges Mitglied

15.09.2009, 11:38

leute für sowas gibt es jacobi matrizen


Bzw. hier der Gradient (was ja in diesem Fall eh identisch ist). Ist mir auch gerade eingefallen.


Bzw. hier der Gradient (was ja in diesem Fall eh identisch ist). Ist mir auch gerade eingefallen.

gradient und jacobi matrix sind in diesem fall nicht identisch. der grad ist die transponierte jacobi matr.

Nick


ehemaliges Mitglied

15.09.2009, 11:47

gradient und jacobi matrix sind in diesem fall nicht identisch. der grad ist die transponierte jacobi matr.

Nick

Betrachtest du den Gradienten als Zeilen- oder als Spaltenvektor?


Betrachtest du den Gradienten als Zeilen- oder als Spaltenvektor?

der gradient ist IMMER ein spaltenvektor, weil nabla ein spaltenvektor ist

Nick


ehemaliges Mitglied

15.09.2009, 12:07

der gradient ist IMMER ein spaltenvektor, weil nabla ein spaltenvektor ist

Das erklärt das Missverständnis.
Zitat aus unserem Script:
Es stellt sich als nützlich heraus den Gradienten stets als Zeilenvektor zu betrachten.


http://www.chemieonline.de/forum/archive/index.php/t-142362.html